الإضمحلال المنتظم في بعض مسائل المرونة اللزجة
No Thumbnail Available
Date
2008
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Saudi Digital Library
Abstract
في نظرية المرونة يكون الإجهاد معتمداً على القيمة الآنية للانفعال. ولكننا في الواقع نلاحظ أن أغلب المواد تحيد عن ذلك بطرق مختلفة كظهور تأثيرات اللزوجة فالموائع اللزجة النيوتونية يعتمد الإجهاد فيها على القيمة الآنية لانحدار السرعة في حين أن بعض المواد تستجيب بتشوهات آنية تتزايد مع مرور الزمن وهذا يعني أن العلاقة بين الإجهاد والانفعال معتمدة على الزمن وهذا السلوك لا يوصف بالمرونة أو اللزوجة بل يمكن اعتباره كاتحاد بينهما، وتسمى هذه المواد مواداً مرنة لزجة. ومن أهم مميزاتها قدرتها على تخزين وتبديد طاقتها الميكانيكية في نفس الوقت والذي يعد من أهم الأسباب لاستخدامها في الكثير من التطبيقات. كما أن لها ذاكرة تحفظ التأثيرات السابقة أي أن الإجهاد عند كل لحظة زمنية لا يعتمد فقط على القيمة الآنية للانفعال وانحدار السرعة بل وعلى كل التاريخ الزمني للحركة، ويعبر عنه بحد تكامل نحصل من خلاله على تأثير تخميد مناسب. وقد تناولنا في هذا البحث بعض النماذج من المعادلات التفاضلية المتضمنة حدود تكاملية وتظهر في مجال المرونة اللزجة لإثبات أن التخميد المحدث بواسطة حد التكامل (حد المرونة (اللزجة وحده قوي كفاية للوصول إلى حالة اتزان واستقرار منتظم للحل وذلك من خلال دراسة بعض مسائل المرونة اللزجة النصف الخطية. وقد استخدمنا طريقتين أساسيتين في الدراسة وهما طريقة الطاقة المضطربة للحصول على دالي ليابانوف مناسب ، وطريقة المضروبات وذلك بتبني تمهيدية مارتينيز لاثبات كلاً من الاضمحلال الأسي وكثيري الحدود لطاقة الحل تحت شروط معينة على المعطيات ومن ثم توسيع هذه النتيجة إلى معدلات اضمحلال أعم.
Description
An elastic material, when subject to a suddenly applied loading state held constant thereafter, responds instantaneously with a state of deformation which remains constant. In the other hand, a Newtonian viscous fluid responds to a suddenly applied state of uniform shear stress by a steady flow process. There are, however, materials that have properties which are intermediate between those of an elastic solid and a viscous liquid. This is the case of viscoelastic materials. As the name implies it has some features of both and it has the ability to storage and dissipation of mechanical energy. This more general type of material possesses a characteristic which can be referred to as memory effect. That is, the material response is not only determined by the current state of stress, but is also determined by all past states of stress, and in a general sense, the material has a memory for all past states of stress. These memory effects are expressed by the dependence on the deformation gradient. In fact, the stress, at each point, depends on the present value of deformation gradient together with the entire temporal prehistory of the motion. Mathematically, this is interpreted by the time convolution of a relaxation function with the Laplacian of the solution. As consequence, a subtle damping effect is produced. In this thesis, we treat two problems which appear in viscoelastisity and show that the dissipation induced by the viscoelastic term (integral term) alone is strong enough to drive uniformly the solution to the equilibrium state. We also specify the decay rate of solutions. This thesis divided into Four parts. In first one we summarized the important idea about viscoelastic materials and cited the previous results in existence and decay of solutions of viscoelstic equations. In part two, we introduced the definitions and construction of Lebesgue spaces and Sobolev spaces, and some properties related to them. In the last two parts, we presented and proved our main results for two semilinear viscoelastic problems by using perturbation technique and multipliers method with the lemma of Martinez to prove general uniform decay result under suitable conditions on the relaxation function g