Scattering Theory with Special Regularization
No Thumbnail Available
Date
2009
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Saudi Digital Library
Abstract
We present an alternative, but equivalent, approach to the regularization of the reference problem in the J-matrix method of scattering. After identifying the regular solution of the reference wave equation with the "sine-like" solution in the J-matrix approach we proceed by direct integration to find the expansion coefficients in an L hasis set that ensures a tridiagonal representation of the reference Hamiltonian. A äfferential equation in the energy is then deduced for these coefficients. The second independent solution of this equation, called the "cosine-like" solution, is derived by requiring it to pertain to the space. These requirements lead to solutions that are exactly identical to those obtained in the classical J-matrix approach. We find the present approach to be more direct and transparent than the classical differential approach of the J-matrix method. In three dimensional scattering, the energy continuum wavefunction is obtained by utilizing two independent solutions of the reference wave equation. One of them is typically singular (usually, near the origin of configuration space). Both are asymptotically regular and sinusoidal with a phase difference (shift) that contains information about the scattering potential. Therefore, both solutions are essential for cattering calculations. Various regularization techniques were developed to handle the singular solution leading to different well-established scattering methods. To simplify the calculation the regularized solutions are usually constructed in a space that diagonalizes the reference Hamiltonian. In this work, we start by proposing solutions that are already regular. We write them as infinite series of square integrable basis functions that are compatible with the domain of the reference Hamiltonian. However, we relax the diagonal constraint on the representation by requiring that the basis supports an infinite tridiagonal matrix representation of the wave operator. The hope is that by relaxing this constraint on the slation space a larger freedom is achieved in regularization such that a natural choice merges as a result. We find that one of the resulting two independent wavefunctions is, in fact, the regular solution of the reference problem. The other is uniquely regularized in the sense that it solves the reference wave equation only outside a dense region covering the singularity in configuration space. However, asymptotically it is identical to the irregular solution. We show that this tural and special regularization is equivalent to that already used in the J-matrix method of scattering. In the present thesis "Scattering Theory with Special Regularization": We start with the three dimensional problem with spherical symmetry where the ference Hamiltonian is the partial -wave free Hamiltonian 2. Then we propose an L basis compatible with the regular domain of H, and pand the exact regular solution of the reference problem in this basis. We then take advantage of a recently obtained integral formula to calculate the sine-like expansion coefficients. We then obtain a second order differential equation in the energy satisfied by s(E) he second independent solution of this equation is identified with the expansion coefficients of the "regularized" cosine-like wave function. we show that this wavefunction satisfies the regularized reference wave equation and that the original irregular solution and this regularized wave function are symptotically equal, as required on physical ground.
Description
الكلاس ــة. الحل شبه جيب في مصفوفة [ أن نمضي مباشرة لإيجاد التكامل وتوسيع المعاملات في مجموعة الأساس المتضمن التمثيل ثلاثي الأبعاد للهاميلتونيان المرجعي. المعادلة التفاضلية في الطاقة ومن ثم استنتاجها لهذه المعاملات الحل الثاني المستقل لهذه المعادلة ، ويطلق عليه مايل نظير جيب التمام " الحل مشتق من خلال دفعه إلى ما يتعلق بفضاء : . هذه الشروط تؤدي إلى الحلول التي هي بالضبط مطابقة لتلك التي حصل عليها في النموذج الكلاسيكي لتقريب مصفوفة الجاكوبيان. نجد هذا النهج إلى أن تكون أكثر مباشرة وشفافية من النهج التفاضلي يكي الطريق صفوفة الجاكوبي ان في الأبعاد الثلاثة للتبعثر ، الطاقة المتصلة لدالة الموجة يتم الحصول عليها عن طريق استخدام حلين مستقلين لمعادلة مرجعية الموجة واحدة منها عادة ما مفردة ( عادة بالقرب من أصل فضاء التكوين كلاهما تكون منتظمة وبشكل مقارب خاص بالمنحنى مع اختلاف الطور (التحول) والذي يحتوي على معلومات عن احتمال جهد التبعثر. لذلك ، كلا الحلان ضروريان لحسابات التبعثر. تقنيات التنظيمات المختلفة مطورة للتعامل مع الحل الوحيد الذي يؤدي إلى اختلاف طرق التبعثر لتأسيس البئر. لتبسيط حساب الحلول المنظمة تبنى عادة في الفضاء القطري ارة الهاميلتوناي ان. لإش نقدم في هذا العمل طريقة بديلة ولكنها مكافئة لتنظيم المشكلة المرجعية في طريقة تبعثر مصفوفة .J. بعد تعريف الحل المنتظم لمرجعية معادلة الموجة مع في هذا العمل ، ونبدأ من خلال اقتراح الحلول التي هي بالفعل منتظمة. نكتب لهم سلسله لانهائية من دوال الأساس المربعة المتكاملة التي تتوافق مع مجال إشارة الهاميلتونايان. ومع ذلك ، فإننا نخفف القيود القطرية عن التمثيل باشتراط أن الأساس تؤيد حصر تمثيل المصفوفة الثلاثية الأبعاد اللانهائية لمشغل الموجة الأمل هو أن هذا عن طريق التخفيف من القيود على حل أكبر مساحة الحرية الذي تحقق في تنظيم مثل هذه خيارا طبيعيا أن يظهر نتيجة لذلك نجد أن واحد من الحلين المستقلين الدالة الموجة مما أدى ، في الواقع، هو الحل المنتظم لمسألة الإشارة. الآخر هو تنظيم فريد في الإدراك، بمعنى أنه يحل معادلة مرجعية الموجة فقط خارج المنطقة الكثيفة ي الأصل في ف ومع ذلك ، الحل الاسمبتوتي مطابق للحل .الشاذ وتبين لنا أن هذا طبيعي وخاصة تنظيم يعادل التي استخدمت بالفعل في طريقة مصفوفة الجاكوبيان للتبعثر. في رسالتي "نظرية التبعثر بالتنظيم الخــ اص"، ضاء التكـ ـــوين. الت ي تغط - نبدأ بالمشكلة الثلاثية الأبعاد بالتناظر الكروي حيث أن الهاميلتونيان المرجعي ة الجزيئي - ثم نقترح إجراء : أساس منتظم يتوافق مع المجال ويوسعان الحل المنتظم الدقيق لمـ شكلة المرجعية في - ثم علينا الاستفادة من الحصول على الصيغة التكاملية مؤخرا لحساب معاملات ــان . ة تحـ رر هاميلتوني للموجــ ذه القاع دة. سع شـ به الجيـ - ثم نحصل على المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية في الطاقة محققة لشبه الجيب والحل الثاني المستقل لهذه المعادلة يتعين مع معاملات التوسع لشبه جيب التمـ ام ه -- تبين لنا أن هذا دالة الموجة يفي معادلة موجة الإشارة المنتظمة والذي هو الحل الشاذ الأصلي ، وهذا دالة الموجة المنظمة مقارب للحل الاسمبيتوتي على قدم المساواة ، على النحو المطلوب على أرض الواقع المادي.