Local and Non-local Linearization of Scalar Second Order ODEs in the Normal Form

Abstract

إن المحاكاة الرياضية لمعظم العمليات الطبيعية و الفيزيائية تؤدي إلى معادلات تفاضلية غير خطية ولا توجد نظرية عامة لإيجاد حلول لهذه المعادلات الغير خطية. ونتيجة لهذه الصعوبات المصاحبة لحل المعادلات الغير خطية فإن فرضيات التقريب الخطي تعتبر وسيلة لتبسيط هذه المعادلات . ومع ذلك، فإن هذه الفرضيات قد تؤدي الى خطأ كبير في الحل. لذلك ، بشكل عام أصبح لزاما حل المعادلات التفاضليه الغير خطية التي تحاكي المسائل الحياتية بدون اللجوء إلى التقريب الخطي. إن عمليات التحويل الخطي تقدم تقنيات قوية لإيجاد حلول للمعادلات الغير خطية. هذه العمليات تقوم على تحويل المعادلات التفاضلية الغير خطية إلى معادلات خطية من خلال تعريف متغيرات مستقله ومتغيرات تابعة جديدة. إن الهدف من هذه الرسالة هو البحث في المسائل المتعلقة بالتحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية باستخدام التحويلات الخطية المحلية وغير المحلية. فيما يتعلق بالمسألة الأولى في هذا البحث والتي تركز على موضوع التحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية عبر التحويلات الخطية المحلية، لقد تم مراجعة طريقة التحويل الخطي الخاصة بلي . كما تم تقديم برهان بديل باستخدام العلاقة بين محاور تماثل لامدا والتكاملات الأولى للمعادلات التفاضلية. إضافة الى ذلك، هذه العلاقة أنتجت معايير جديدة لإمكانية التحويل الخطي كما أوجدت طريقة أقل تعقيدا لإيجاد التحويلات الخطية . لقد تم توضيح فعالية هذه الطريقة من خلال إيجاد التحويلات الخطية المحلية لشكل معين من المعادلات التفاضلية العادية الغير خطية من الدرجة الثانية . كما تم تطبيق هذه الطريقة على المعادلات التفاضلية العادية الغير خطية من الدرجة الثانية ذات المشتقة الأولى المربعة أو المكعبة. فيما يتعلق بالمسألة الثانية في هذا البحث والتي تركز على موضوع التحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية الى صيغة لاجيرعبر تحويلات سندمان الغيرمحلية. فقد قدم موريل و روميرو وصفا دقيقا للمعادلات الغير خطية التي يمكن تحويلها الى خطية بواسطة تحويلات سندمان بدلالة التكامل الأول، كما عرضوا طريقة مفصلة لايجاد تحويلات سندمان. في هذا البحث، قدمنا وصفا جديدا للمعادلات الغير خطية التي يمكن تحويلها الى خطية بواسطة تحويلات سندمان بدلالة المعاملات واقتران مساعد. ومن ثم قدمنا صيغة صريحة عامة للتكامل الأول للمعادلات التي تحقق المعيار الجديد. وبذلك فإن المعيار الجديد يقدم طريقة جديدة لايجاد التكاملات الأولى و تحويلات سندمان. لقد تم توضيح فعالية هذه الطريقة من خلال إيجاد الحل العام للمعادلات الجيوديسية على الأسطح الدروانية ذات الإنحناء الثابت بطريقة موحدة.