Properties of Solutions for Some Classes of Nonlinear Fractional Differential Equations

Abstract

درسنا في هذة الأطروحة السلوك المقارب، والاضمحلال، والمحدودية وانعدم وجود الحلول لبعض من المعادلات التفاضلية غير الخطيه ذات الرتب غير الصحيحه. هذة الدراسه مدفوعة ببعض الدرسات السابقة في حالة المعادلات التفاضليه ذات الرتب الصحيحه. من المعروف أن بعض الحلول تنحو الى كثيرة حدود (خط في حالة المعادلة من الرتبة الاولى) عندما يذهب الزمن الى مالانهايه والبعض الاخرى يتذبذب او يضمحل نحو الصفر او ينفجر في وقت محدود. من المهم من الناحية العملية والنظرية توسيع هذه النتائج الى المعادلات التفاضلية ذات الرتب غير الصحيحة بسبب ظهورها في العديد من التطبيقات. إلا أن هذا التوسيع ليس سهلا إذ تنشأ لدينا العديد من الصعوبات عندما نحاول استخدام الخواص المناظرة للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الصحيحة. بعض هذة الصعوبات تكمن في طبيعة المشتقات غير الصحيحة: هي بالتعريف غير موضعية في الزمن إذ تتضمن كل تاريخ الحلول (او مشتقتة في حالة مشتقة كابوتو). علاوة على ذلك فإن نواة التكامل في هذا التعريف غير منتظمة وغير قابلة للتكامل. هذة الحقائق لا تسمح لنا باستخدام النتائج المعروفة حاليا. بالاضافة إلى ذلك فإنه من الواضح أن العديد من الخواص التى تتمتع بها المشتقات ذات الرتب الصحيحه لا يمكن استخدامها في حالة المشتقات ذات الرتب غير الصحيحة مثل قاعدة السلسلة. سوف نتجاوز هذة الصعوبات باستخدام صيغ معدلة ومطورة من متراجحة قرونوال-بلمان وبعض التقديرات المناسبه للحدود الغير المنتظمة و إستخدم طريقة دالة الاختبار. نثبت تقارب الحلول الى دوال ذات قوة كسرية موجبة اوسالبة، اودوال محدودة او انعدم وجود حلول عالمية غير تافهة لأشهر نوعين من المشتقات ذات الرتب غير الصحيحة: مشتقة ريمان-ليوفل ومشتقة كابوتو. ايضا قمنا بتوسيع نفس هذة النتائج الى نظام من المعادلات التفاضلية ذات الرتب غير الصحيحة.