A bilinear Kalman filter, a bilinear Kalman smoother, and a bilinear EM algorithm, with applications to Lotka-Volterra model.

Abstract

فلتر (مصفي) كالمان هو مقدر فعال وناجح للأنظمة الديناميكة الخطية. غير أنَّ معظم الأنظمة في الحياة الواقعية غير خطية. تشكل الأنظمة ثنائية الخطية نوعاً خاصاً من الأنظمة غير الخطية، لها القدرة على تمثيل أنواع مختلفة وهامة من الأنظمة الفيزيائية غير الخطية. إضافة إلى ذلك، الأنظمة ثنائية الخطية يمكن أن تستخدم كتقريب أو تمثيل بديل لمجموعة من الأنظمة غير الخطية الأخرى. وهي تستخدم أيضا لنمذجة العمليات غير الخطية في معالجة الصور والإشارات وأنظمة الاتصالات. على وجه الخصوص، ظهرت هذه الأنظمة في مجالات الهندسة، والكيمياء، والاقتصاد، والأحياء وغيرها. الأنظمة ثنائية الخطية يمكن تمثيلها على صورة ما يعرف بنموذج فضاء الحالة. سنطور في هذه الأطروحة نموذجاً جديداً ثنائي الخطية في صورة نموذج فضاء حالة. تطوير هذا النموذج الجديد لا يعتمد فقط على متجه الحالة، بل يعتمد أيضاً على ضرب هذا المتجه بنفسه. بهذا الأسلوب الجديد في تطوير النموذج نعمم عدداً من النماذج الشهيرة، مثل نموذج لورنز96 ونموذج لوتكا- فولتيرا والتي لها تطبيقات عملية. ولأنَّ هذا النموذج ثنائي الخطية لا يصلح للتعامل مع فلتر كالمان الخطي فإننا نشتق فلتراً جديداً ومنعماً جديداً تعمل مع النظام ثنائي الخطية الجديد. سوف نسميهما فلتر كالمان ثنائي الخطية ومنعم كالمان ثنائي الخطية، على الترتيب. ونظرا للاستعمال الواسع للأنظمة ثنائية الخطية، فهناك محفز قوي لتطوير خوارزميات وطرق تشخيص وسائط تلك الأنظمة. في هذه الأطروحة سوف نقدم تشخيص نظام ثنائي الخطية الجديد لتقدير الوسائط المستخدمة في النظام الجديد تحت بعض الفرضيات الإحصائية. أسلوبنا الجديد في تشخيص النظام ثنائي الخطية الجديد يعتمد على تعميم ما يعرف بخوارزمية تعظيم التوقع. حيث نستخدم نظريات الأمثلة غير الخطية. ونقدم أيضا في هده الأطروحة، محاكاة لنتائجنا الجديدة التي توصلنا إليها وأثبتناها. حيث نطبق هذه النتائج على ما يعرف بنظام لوتكا- فولتيرا غير الخطي، وذلك لشرح وتوضيح مدى فعالية وفائدة نتائجنا الجديدة التي توصلنا إليها على مسائل التقدير غير الخطية وعلى الأسلوب الجديد في عملية التشخيص.